定点を通る直線で三角形の面積を二等分する方法

書いている人:赤門会講師 武藤広明
対象:高校生以上もしくは意欲と知識のある中学生
※書いた当時の教育課程に合わせています。
頂点を通る直線
二等分線の図0
三角形の頂点とその対辺の中点とを結ぶと、その直線により三角形の面積は二等分されます。 これは、三角形の一つの頂点を通り三角形の面積を二等分する直線の作図法を示しています。
三角形の周上の定点(頂点を除く)を通る直線
二等分線の図1
また、次のような問題が中学校、高校の作図題として有名です。
「三角形の辺上の定点(頂点以外)を通り、三角形の面積をニ等分する直線を作図せよ。」(問題1)
この問題は平行線を用いた等積変形の問題として解決できます。
ここまでは比較的容易な問題です。ここからが本題になります。次のような問題です。
三角形の周上にない定点を通る直線
二等分線の図2の1
「三角形の周上にない定点を通り、三角形の面積をニ等分する直線を作図せよ。」(問題2)
この問題は以前に朝日新聞の赤門会の広告の欄に出題された問題で、 驚くことに、正解者は0人。中学・高校の先生で正解を聞きにきた人もいたとかいう話です。 さらに、東大の理系の学生の中には、作図は不可能である (不可能とは能力の問題ではなく、定規とコンパスでは作図ができないという意味で、 有名な作図不能問題としては、立方倍積問題 (与えられた一辺をもつ立方体の倍の体積を持つ立方体の一辺の作図) ・角度の 3 等分問題・円積問題(与えられた円と面積が等しい正方形の作図)などがあります。) といってきた方もいるそうです (適当な座標をとれば、二次方程式を1回解くことで直線の方程式が求まりますので、 作図不能なわけないんですけど…)。 下の解答2−1は赤門会創設者の常田三朗氏によるものです。 ただし、書いたものが残っていなかったので、 私(武藤)が記憶をたよりに作成しました。 (三角形OMFを作図する位置が別の場所だったかもしれません…。)
作図のアイデアは次のようなものです。
「OAとOBの積の半分がOPとOQの積に等しくなるような 点P、QをそれぞれOA、OB上に作図しよう。 上の関係を書き換えれば、「OA:OP=OQ:OB/2」となる。 比が等しいときたら相似だろう。 うまく三角形を作ってやればよいのだ。相似といえば、平行線か円を書けば…」
このように逆に推理したと解答作成者は申しておりました。
この作図1回で作図可能な直線は最大でも2本です。 定点(解答の点C)が重心付近にあると題意を満たす直線は3本あります。 一般には、作図で得られる直線の本数は、実際に題意を満たす直線の本数より少ないかまたは等しくなります。 解答にあるように同様の作図を頂点を読み替えて3回繰り返すと題意の直線がすべて得られることになりますが、 本来はこのことも証明すべき事柄です。 この証明は難しいので、今回は省略させていただきます(本当はまだやってません…)。
解答2−1の作図アニメーションAは定点が三角形の内部にある場合、 解答2−1の作図アニメーションBは定点が三角形の外部にある場合のものです。
二等分線の図2の2
別の作図の方法です。こちらは私が考えました。 考えるのに少なくとも1ヶ月、証明するのには3ヶ月ぐらいかかったと思います (勿論一日じゅう考えていたわけではありません)。 作図のアイデアは次のようなものです。
「双曲線の漸近線とその双曲線との接線で囲まれる三角形の面積は接点の座標によらない、 という定理(大学入試の問題でよくみる問題です)、 双曲線の接線の幾何学的な性質 (双曲線の一方の焦点から出た光線はその双曲線の鏡で反射して、 他方の焦点に虚像を結ぶ)を組み合わせれば作図できるはず…。」
勿論、双曲線自体はコンパスと定規で作図できませんが、 その接線は直線なので作図できてもおかしくはありません。証明の方も初等幾何だけでできます。
解答2−2の作図アニメーションAは定点が三角形の内部にある場合、 解答2−2の作図アニメーションBは定点が三角形の外部にある場合のものです。
二等分線の図2の3
もうひとつ別の作図法です。作図のアイデアは次のようなものです。
「一次変換の前後では三角形の面積は保存されないが、 二つの三角形の面積比は保存される。適当な一次変換でうつして、 作図しやすい形に変形してから作図し、逆変換で戻してもいいはず。 点Cが角Oの二等分線上にある場合は、対称性があるから作図しやすいかな…。」
一次変換は高校で学習することになっています。 証明はすべて幾何学の言葉でやっています。 途中メネラウスの定理を用いていますが、これも高校で学習する内容です。
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