四次方程式の解の公式

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四次方程式の一般形は次のようになります。

まず、四次の係数aで割って次のような形の方程式にします。
…(1)
次の関係式でyを定めます。
…(2)
この関係式をxについて解いて、xの方程式に代入することにより、 次のような(3次の項が消去された)yの方程式を得ます。
…(3)
この式を移項した後、両辺にty2を加えて平方完成すると、次のようになります。
…(4)
この剰余項=0という方程式を立てます。
…(5)
これを整理するとtの三次方程式が得られます。
…(6)
この三次方程式を解きます(三次方程式の解の公式参照)。 解をt=t1,t2,t3とします(解に0が含まれる場合については PDF参照)。(4)より、
…(7)
両辺の平方根をとると、yの二次方程式が二個得られます。これを整理して
…(8)
この2個の二次方程式を解くと、解が合計4個得られます。
…(9)
(2)より、xの値が4個得られます。
…(10)
これが最初の四次方程式の解です。
もとの係数a,b,c,d,eだけで表したものを1行に書くと次のようになります。
ただし書きなどは省略しました。
(長い!!!)
説明・証明の
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