三次方程式の解の公式

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三次方程式の一般形は次のようになります。

まず、三次の係数aで割って次のような形の方程式にします。
…(1)
次の関係式でyを定めます。
…(2)
この関係式をxについて解いて、xの方程式に代入することにより、 次のような(2次の項が消去された)yの方程式を得ます。
…(3)
次の関係式でu、vを定めます。
…(4)
代入して整理すると、次のような関係式が得られます。
…(5)
さらに第2式を3乗することにより、次のような関係式が導かれます。
…(6)
これにより、u3、v3を解とする2次方程式を作ることができます。
…(7)
これを解いて、解を得ます。
…(8)
z1,z2の立方根がu,vです。 z1の立方根をu、z2の立方根をvとしても一般性は失われません。 複素数の範囲で立方根は3個ありますから、uの値が3個、vの値が3個出てくるので、 組(u,v)としては9個の可能性がありますが、そのうちで(5)の第2式を満たすものは 3組です。このうちの一組を
…(9)
で表すことにすると、すべての解は次のように表されます。
…(10)
(4)の第1式より
…(11)
(2)より
…(12)
これが最初の三次方程式の解です。
もとの係数a,b,c,dだけで表したものを1行に書くと次のようになります。
ただし書きなどは省略しました。
(長い・・・)
説明・証明の
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